dörtyüzlü sayı -

Tetrahedral number

olduğu,

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2 }}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\sağ)}$

Dörtyüzlü sayılar şunlardır:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (dizi

A000292

olarak OEIS )

3:

${\displaystyle Te_{n}=\sum _{k=1}^{n}T_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2 }}=\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{k}i\sağ)={\frac {n(n+1)(n+2) }{6}}={\frac {n^{\overline {3}}}{3!}}}$

Dörtyüzlü sayılar binom katsayıları olarak da gösterilebilir :

${\displaystyle Te_{n}={\binom {n+2}{3}}.}$

Dörtyüzlü sayılar bu nedenle Pascal üçgeninde soldan veya sağdan dördüncü konumda bulunabilir .

Formülün kanıtları

üçgen sayı inci verilir

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

ilerler .

Temel durum

${\displaystyle Te_{1}=1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}.}$

endüktif adım

${\displaystyle {\begin{aligned}Te_{n+1}\quad &=Te_{n}+T_{n+1}\\&={\frac {n(n+1)(n+2)} {6}}+{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}\\&=(n+1)(n+2)\left({\frac {n}{6} }+{\frac {1}{2}}\sağ)\\&={\frac {(n+1)(n+2)(n+3)}{6}}.\end{hizalı}} }$

Formül ayrıca Gosper'ın algoritması ile de kanıtlanabilir .

Tetrahedral sayılar küreleri istifleyerek modellenebilir. Örneğin, beşinci tetrahedral sayı (

) 35 bilardo topu ve 15 topu yerinde tutan standart üçgen bilardo topu çerçevesi ile modellenebilir . Daha sonra bunların üzerine 10 top daha yığılır, sonra 6 top daha, sonra üstte üç ve bir top daha tetrahedronu tamamlar.

.

:

inci tetrahedral sayısı.

• Te _n + Te _{n −1} = 1 ² + 2 ² + 3 ² ... + n ²
  , kare piramidal sayılar .
• AJ Meyl 1878'de sadece üç tetrahedral sayının da tam kare olduğunu kanıtladı :

  Te ₁ = 1 ² = 1

  Te ₂ = 2 ² = 4

  Te ₄₈ = 140 ² = 600

  .

• Sir Frederick Pollock , her sayının en fazla 5 tetrahedral sayının toplamı olduğunu tahmin etti: bkz. Pollock tetrahedral sayılar varsayımı .
• Aynı zamanda bir kare piramidal sayı olan tek dörtyüzlü sayı 1'dir (Beukers, 1988) ve aynı zamanda mükemmel bir küp olan tek dörtyüzlü sayı da 1'dir.
3
/
2
, teleskopik seri kullanılarak türetilebilir :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\tfrac {3}{2}}.}$



• Dört yüzlü sayıların paritesi , tek-çift-çift-tekrar eden modeli takip eder.
• Dörtyüzlü sayıların bir gözlemi:

  Te ₅ = Te ₄ + Te ₃ + Te ₂ + Te ₁

• Hem üçgen hem de dörtyüzlü olan sayılar binom katsayısı denklemini sağlamalıdır :

  ${\displaystyle T_{n}={\binom {n+1}{2}}={\binom {m+2}{3}}=Te_{m}.}$

  

Yüzlü ve üçgen her iki numara sadece numaralar (dizisidir

A027568

olarak OEIS ):

Te ₁ = T ₁ = 1

Te ₃ = T ₄ = 10

Te ₈ = T ₁₅ = 120

Te ₂₀ = T ₅₅ = 1540

Te ₃₄ = T ₁₁₉ = 7140

, " Noel'in On İki Günü " ilahisinin tüm 12 ayeti boyunca "bana gönderilen gerçek aşkım" hediyelerinin toplam sayısıdır. Her ayet sonra hediyeler birikimli toplam sayısı da ayet için n .

evlerin sayısıdır.

• ortalanmış üçgen sayı

• Weisstein, Eric W. "Tetrahedral Sayı" . Matematik Dünyası .
• Tetrahedral Sayı Formülünün Geometrik Kanıtı, Jim Delany, Wolfram Gösterileri Projesi .