Negatif sayı -
Negative number

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bu termometre, negatif bir Fahrenheit sıcaklığı (-4 °F) gösteriyor.
ölçekleri gibi sıfırın altına düşen bir ölçekte değerleri tanımlamak için kullanılır . Negatif sayılar için aritmetik yasaları, sağduyulu bir zıtlık fikrinin aritmetikte yansıtılmasını sağlar. Örneğin, −(−3) = 3 çünkü bir zıtlığın tersi orijinal değerdir.

Negatif sayılar genellikle önünde eksi işareti ile yazılır . Örneğin, -3, büyüklüğü üç olan negatif bir miktarı temsil eder ve "eksi üç" veya "negatif üç" olarak telaffuz edilir. Bir çıkarma işlemi ile negatif bir sayı arasındaki farkı söylemeye yardımcı olmak için , bazen negatif işareti eksi işaretinden biraz daha yükseğe yerleştirilir ( üst simge olarak ). Tersine, sıfırdan büyük bir sayıya pozitif denir ; sıfır genellikle ( ancak her zaman değil ) ne olumlu ne de olumsuz olarak düşünülür . Bir sayının pozitifliği, önüne bir artı işareti konularak vurgulanabilir, örneğin +3. Genel olarak, bir sayının negatifliği veya pozitifliği, işareti olarak adlandırılır .

Sıfır dışındaki her gerçek sayı ya pozitiftir ya da negatiftir. Negatif olmayan tam sayılara doğal sayılar (yani 0, 1, 2, 3...), pozitif ve negatif tam sayılara (sıfırla birlikte) tam sayılar denir . (Doğal sayıların bazı tanımlarında sıfır hariçtir.)

Olarak muhasebe , borçlu miktarlar genellikle olumsuz sayıları temsil etmek için alternatif bir gösterim olarak, kırmızı sayılar veya parantez içinde bir sayı ile temsil edilmektedir.

gibi matematikçiler , problemlerin negatif çözümlerini "yanlış" olarak görüyorlardı ve negatif çözümler gerektiren denklemler saçma olarak tanımlanıyordu. Leibniz (1646-1716) gibi Batılı matematikçiler, negatif sayıların geçersiz olduğunu kabul ettiler, ancak yine de bunları hesaplamalarda kullandılar.

Tanıtım

çıkarma işleminin sonucu olarak

Negatif sayılar, daha büyük bir sayıdan daha küçük bir sayının çıkarılmasından kaynaklandığı düşünülebilir . Örneğin, eksi üç sıfırdan üç çıkarmanın sonucudur:

0 − 3 = -3.

Genel olarak, daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayının çıkarılması, sonucun büyüklüğü iki sayı arasındaki fark olmak üzere negatif bir sonuç verir. Örneğin,

5 − 8 = -3

çünkü

5 = 3 - 8
.

sayı satırı

Negatif sayılar, pozitif sayılar ve sıfır arasındaki ilişki genellikle bir sayı doğrusu şeklinde ifade edilir :

sayı satırı

Bu satırda daha sağda görünen sayılar daha büyük, solda daha uzakta görünen sayılar daha azdır. Böylece sıfır, pozitif sayılar sağda ve negatif sayılar solda olacak şekilde ortada görünür.

Büyüklüğü daha büyük olan negatif bir sayının daha az olarak kabul edildiğini unutmayın. Örneğin, (pozitif)

8
(pozitif)
5'ten
büyük olmasına rağmen ,

8 > 5

eksi

8
, eksi
5'ten
küçük olarak kabul edilir :

-8 < -5.

(Çünkü, örneğin, 8 sterlinlik bir borcunuz varsa, buna 10 sterlin ekledikten sonra, örneğin −5 sterline sahip olduğunuzdan daha az borcunuz olur.) herhangi bir pozitif sayı, yani

-8 < 5
 ve 
-5 < 8.

imzalı numaralar

Negatif sayılar bağlamında, sıfırdan büyük bir sayı pozitif olarak adlandırılır . Böylece sıfır dışındaki her gerçek sayı ya pozitif ya da negatiftir, sıfırın kendisinin bir işareti olduğu düşünülmez. Pozitif sayılar bazen önünde artı işaretiyle yazılır , örneğin

+3
pozitif üçü ifade eder.

Sıfır ne pozitif ne de negatif olduğundan, negatif olmayan terimi bazen pozitif veya sıfır olan bir sayıyı belirtmek için kullanılırken pozitif olmayan terimi negatif veya sıfır olan bir sayıyı belirtmek için kullanılır. Sıfır nötr bir sayıdır.

Negatif sayıların günlük kullanımları

Spor

Par'a göre negatif golf puanları.

Bilim

finans

  • Mali tablolar, eksi işaretiyle gösterilen veya bakiyeyi parantez içine alarak eksi bakiyeler içerebilir. Örnekler, banka hesabı kredili mevduatlarını ve iş kayıplarını (negatif kazançlar ) içerir.
  • Bir ülkenin GSYİH'sindeki yıllık yüzde büyüme negatif olabilir, bu da durgunluk içinde olduğunun bir göstergesidir .
  • Bazen, ortalama fiyatlarda bir düşüşe işaret eden bir enflasyon oranı negatif olabilir ( deflasyon ).
  • Finansmanda negatif bir sayı, "kırmızıda olmak" olarak da bilinen "borç" ve "açık" ile eş anlamlıdır.

Başka

Bir asansörde negatif kat numaraları.
  • Zemin katın altındaki bir binada katların numaralandırılması .
  • Televizyon oyunu şovları :
    • Tehlike! negatif bir para puanı var – yarışmacılar bir miktar para için oynuyorlar ve kendilerine şu anda sahip olduklarından daha pahalıya mal olan herhangi bir yanlış cevap negatif puanla sonuçlanabilir.
    • In Fiyat Is Right ' paranın bir miktar daha bankada halen miktardan daha olduğunu kaybolursa s fiyatlandırma oyunu satın almak veya satmak, bu olumsuz puan doğurur.
  • Bir politikacının onay derecesi .
  • Gelen video oyunları , negatif bir sayı simülasyon tarz bağlı olarak bir kaynağın hayatı, hasar, bir skor cezası veya tüketim kaybını gösterir.
  • İle çalışanlar esnek çalışma saatleri kendi üzerinde olumsuz bir denge olabilir çizelgesi o noktada sözleşmeli daha az toplam saat çalışmış varsa. Çalışanlar, bir yıl içinde yıllık izinlerinden daha fazlasını alarak eksi bakiyeyi bir sonraki yıla aktarabilirler.

Negatif sayıları içeren aritmetik

olduğu gibi ).

"-" sembolünün belirsizliği, aritmetik ifadelerde genellikle belirsizliğe yol açmaz, çünkü işlem sırası her "-" için yalnızca bir veya diğerini mümkün kılar. Bununla birlikte, operatör sembolleri birbirine bitişik göründüğünde, bir kişinin bir ifadeyi anlaması karışıklığa yol açabilir ve zor olabilir. Bir çözüm, tekli "-" işleneniyle birlikte parantez içine almak olabilir.

aynı işlemleri temsil etmeyen farklı ifadesidir, ama aynı sonucu olarak değerlendirilir.

Bazen ilkokullarda, negatif ve pozitif sayıları aşağıdaki gibi açıkça ayırt etmek için bir sayının önüne bir eksi işareti veya artı işareti eklenebilir.

Ek

Pozitif ve negatif sayıların eklenmesinin görsel bir temsili. Daha büyük toplar, daha büyük büyüklükteki sayıları temsil eder.

İki negatif sayının toplanması, iki pozitif sayının toplanmasına çok benzer. Örneğin,

(−3) + (−5) = -8
.

Buradaki fikir, iki borcun daha büyük büyüklükte tek bir borçta birleştirilebilmesidir.

Pozitif ve negatif sayıların bir karışımını bir araya getirirken, negatif sayıları pozitif miktarların çıkarılması olarak düşünebiliriz. Örneğin:

8 + (−3) = 8 − 3 = 5
 ve 
(−2) + 7 = 7 − 2 = 5
.

İlk örnekte, bir kredi

8
bir borç ile birleştirilir
3
toplam kredi verir,
5
. Negatif sayının büyüklüğü daha büyükse, sonuç negatiftir:

(−8) + 3 = 3 − 8 = −5
 ve 
2 + (−7) = 2 − 7 = −5
.

Burada kredi borçtan azdır, dolayısıyla net sonuç borçtur.

Çıkarma

Yukarıda tartışıldığı gibi, negatif olmayan iki sayının çıkarılmasının olumsuz bir cevap vermesi mümkündür:

5 − 8 = -3

Genel olarak, pozitif bir sayının çıkarılması, eşit büyüklükte negatif bir sayının eklenmesiyle aynı sonucu verir. Böylece

5 − 8 = 5 + (−8) = −3

ve

(−3) − 5 = (−3) + (−5) = -8

Öte yandan, negatif bir sayının çıkarılması, eşit büyüklükte pozitif bir sayının eklenmesiyle aynı sonucu verir. (Fikir, bir borcu kaybetmenin kredi kazanmakla aynı şeydir .) Böylece

3 - (−5) = 3 + 5 = 8

ve

(−5) - (−8) = (−5) + 8 = 3
.

Çarpma işlemi

Sayıları çarparken, ürünün büyüklüğü her zaman sadece iki büyüklüğün çarpımıdır. Ürünün işareti aşağıdaki kurallara göre belirlenir:

  • Bir pozitif sayı ile bir negatif sayının çarpımı negatiftir.
  • İki negatif sayının çarpımı pozitiftir.

Böylece

(−2) × 3 = -6

ve

(−2) × (−3) = 6
.

İlk örneğin arkasındaki neden basittir: üç

−2
'yi birlikte eklemek
−6
verir :

(−2) × 3 = (−2) + (−2) + (−2) = −6
.

İkinci örneğin arkasındaki mantık daha karmaşıktır. Yine fikir, bir borcu kaybetmenin kredi kazanmakla aynı şey olduğudur. Bu durumda, her biri üç olan iki borcu kaybetmek, altı kredi kazanmakla aynıdır:

İki negatif sayının çarpımının pozitif olduğu kuralı da çarpmanın dağılma yasasını takip etmesi için gereklidir . Bu durumda biliyoruz ki

(−2) × (−3) + 2 × (−3) = (−2 + 2) × (−3) = 0 × (−3) = 0
.

Yana

2 x (-3) = -6
, ürün
(-2) x (-3)
eşit olmalıdır
6
.

Bu kurallar herhangi bir ürün başka (eşdeğer) kural işareti yol a × b işaretine bağlıdır bir şekilde takip eder:

  • Eğer bir pozitif olan, o zaman işareti , bir x b işareti ile aynıdır , b , ve
  • Eğer bir negatif, o zaman işareti , bir x b işaretinin tersidir b .

İki negatif sayının çarpımının neden pozitif sayı olduğunun gerekçesi, karmaşık sayıların analizinde gözlemlenebilir .

Bölüm

İşareti kuralları bölünmesi çoğalması için aynıdır. Örneğin,

8 ÷ (−2) = -4
,
(−8) ÷ 2 = -4
,

ve

(−8) ÷ (−2) = 4
.

Bölünen ve bölenin işareti aynıysa sonuç pozitif, işaretleri farklıysa sonuç negatiftir.

olumsuzlama

Pozitif bir sayının negatif versiyonuna olumsuzlaması denir . Örneğin,

−3
, pozitif sayı
3'ün
olumsuzlamasıdır . Toplam bir sayı ve olumsuzlamanın sıfıra eşittir:

3 + (−3) = 0
.

Yani, pozitif bir sayının olumsuzlaması, sayının toplamsal tersidir .

olarak yazabiliriz :

x + (− x ) = 0
.

Bu özdeşlik herhangi bir pozitif sayı

x
için geçerlidir . Olumsuzluk tanımı sıfır ve negatif sayıları içerecek şekilde genişletilerek tüm reel sayılar için tutma yapılabilir. özellikle:

  • 0'ın olumsuzlaması 0'dır ve
  • Negatif bir sayının olumsuzluğu, karşılık gelen pozitif sayıdır.

Örneğin, yadsýnmasý

-3
olup
+3
. Genel olarak,

−(− x ) =  x
.
.

Negatif tam sayıların resmi yapısı

genişletebiliriz . Bu çiftlere toplama ve çarpma işlemlerini aşağıdaki kurallarla genişletebiliriz:
( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d )
( a , b ) × ( c , d ) = ( a × c + b × d , a × d + b × c )

Bu çiftler üzerinde aşağıdaki kuralla ~ bir denklik ilişkisi tanımlarız :

( a , b ) ~ ( c , d ) ancak ve ancak a + d = b + c ise .
, bir halka prototipik örneği ve aslında.

Yazarak da

( a , b ) ≤ ( c , d ) ancak ve ancak a + db + c ise .

( a , b ) - ( c , d ) = ( a + d , b + c ).

Bu yapı, Grothendieck yapısının özel bir durumudur .

benzersizlik

Aşağıdaki kanıtta gösterildiği gibi, bir sayının negatifi benzersizdir.

Let X bir sayı ve izin y negatif olabilir. Diyelim ki y' , x'in bir başka negatifi . Gerçek sayı sisteminin bir aksiyomu ile

Ve böylece, x + y' = x + y . Toplama için iptal yasasını kullanarak, y' = y olduğu görülür . Böylece y , x'in herhangi bir diğer negatifine eşittir . Yani, y , x'in benzersiz negatifidir .

Tarih

Uzun bir süre, sorunlara olumsuz çözümler "yanlış" olarak kabul edildi. In Helenistik Mısır , Yunan matematikçi Diophantus MS 3. yüzyılda 4'e denk olan bir denkleme sevk x + 20 = 4 (a negatif çözümü vardır ki) Bu kitaptaki , denklem saçma olduğunu söyleyerek. Bu nedenle Yunan geometriciler, pozitif kökler veren ikinci dereceden denklemin tüm biçimlerini geometrik olarak çözebildiler; diğerlerini hesaba katamazken.

Negatif sayılar tarihte ilk kez Matematiksel Sanat Üzerine Dokuz Bölüm'de ( Jiu zhang suan-shu ) ortaya çıkıyor, bu mevcut haliyle Han Hanedanlığı dönemine (M.Ö. çok daha eski malzeme. Matematikçi Liu Hui (c. 3. yüzyıl), negatif sayıların toplanması ve çıkarılması için kurallar oluşturdu. Tarihçi Jean-Claude Martzloff, Çin doğa felsefesindeki dualitenin öneminin, Çinlilerin negatif sayılar fikrini kabul etmesini kolaylaştırdığını teorileştirdi. Çinliler, negatif sayıları içeren eşzamanlı denklemleri çözebildiler. Dokuz Bölümler kırmızı kullanılan sayma çubukları pozitif göstermek için katsayıları ve negatif siyah çubuklar. Bu sistem, bankacılık, muhasebe ve ticaret alanlarındaki pozitif ve negatif sayıların çağdaş basımının tam tersidir; burada kırmızı sayılar negatif değerleri ve siyah sayıların pozitif değerleri ifade eder. Liu Hui şöyle yazıyor:

Şimdi kazançlar ve kayıplar için iki zıt türde sayma çubuğu vardır, bunlara pozitif ve negatif denilmesine izin verin. Kırmızı sayma çubukları pozitif, siyah sayma çubukları negatiftir.

Eski Hint Bakhshali El Yazması , negatif işaret olarak "+" kullanarak negatif sayılarla hesaplamalar yaptı. El yazmasının tarihi belirsizdir. LV Gurjar bunu 4. yüzyıldan daha geç tarihlememektedir, Hoernle üçüncü ve dördüncü yüzyıllar arasına tarihlendirmektedir, Ayyangar ve Pingree onu 8. veya 9. yüzyıllara, George Gheverghese Joseph ise MS 400'e ve en geç 7. yüzyıla tarihlendirmektedir. Yüzyıl,

MS 7. yüzyılda, Hindistan'da borçları temsil etmek için negatif sayılar kullanıldı. Hint matematikçi Brahmagupta olarak, Brahma-Sphuta-Siddhanta'nın (yazılı C. MS 630), genel bir şekilde üretilmesi için negatif sayılar kullanımını ele kuadratik formül kullanımda kalıntıları bugün. Ayrıca ikinci dereceden denklemlerin negatif çözümlerini buldu ve "Hiçlikten kesilen bir borç kredi olur; hiçlikten kesilen bir kredi borca ​​dönüşür" gibi negatif sayılar ve sıfır içeren işlemlerle ilgili kurallar verdi . Pozitif sayılara "talih", sıfıra "şifre" ve negatif sayılara "borç" adını verdi.

borçları negatif sayılar olarak değerlendirmiştir .